Teorema das Malhas

 MÉTODO DAS MALHAS, SUPERPOSIÇÃO, THEVENIN e NORTON

 I.        CIRCUITOS EM SÉRIE – DIVISOR DE TENSÃO

Uma tensão provoca o deslocamento dos elétrons através de uma resistência, parte da f.e.m. disponível é gasta. Essa perda de f.e.m. é chamada de queda de tensão na resistência. As tensões V₁, V₂, V₃, determinadas no circuito abaixo, são conhecidas como quedas de tensão. O seu efeito é de reduzir a tensão disponível a ser aplicado aos demais componentes do circuito. A soma das quedas de tensão em qualquer circuito série é sempre igual à tensão aplicada ao circuito: V _T = V₁ + V₂ + V₃

Ou seja, a tensão total aplicada ao circuito em série é igual a soma das tensões nos terminais de cada resistência do circuito, ou:    V _T = V₁ + V₂ + V₃

Embora as equações acima tenham sido aplicadas a circuitos que contêm 3 (três) resistências, elas também se aplicam a qualquer número, isto é:

R_T = R₁ + R₂ + R₃ + . . . + R_N      e     V _T = V₁ + V₂ + V₃+ . . . + V_N

A Lei de Ohm pode ser aplicada ao circuito todo, ou em partes separadas de um circuito em série. Quando ela for aplicada a certa parte de um circuito, a tensão através dessa parte é igual a corrente dessa parte multiplicada pela resistência.

Ou seja, para o circuito acima, se quisermos achar a tensão V₁ que passa pela resistência R_1, que é conhecida, e sabendo o valor de I, teremos que: V₁ = I x R₁                  

O mesmo para     V₂ = I x R₃              e       V₃ = I x R₃

Exercícios: Gussow, Eletricidade Básica (Pg.67)

  II.    CIRCUITOS EM PARALELO – DIVISOR DE CORRENTE

 

Através dos diversos ramos de um circuito em paralelo, a corrente se divide pelos diversos caminhos em paralelo. E ela se divide em proporções inversas, determinadas pelas resistências relativas dos ramos individuais. Assim, quanto menor a resistência de qualquer ramo em relação às resistências dos outros ramos no mesmo circuito em paralelo, maior a parte da corrente total que será observada no mesmo.

Ou melhor, em um circuito em paralelo, os ramos com resistências baixas solicitam mais corrente do que os ramos com resistências altas, porque um pequeno valor de resistência oferece menor oposição à corrente.

Os resistores R₁, R₂ e R₃ estão em paralelo entre si e com a bateria. Cada percurso paralelo é então um ramo ou malha com a sua própria corrente. Quando a corrente I_T sai da fonte de tensão V, uma parte I₁ da corrente I_T flui através de R₁, uma outra parte I₂ flui através de R₂, e a parte restante I₃ passa através de R₃. As correntes, I₁, I₂ e I₃ nos ramos podem ser diferentes. Entretanto, se for inserido um voltímetro através de R₁, R₂ e R₃, as respectivas tensões V₁, V₂ e V₃ serão iguais. 

V= V₁= V₂ = V₃

A corrente total I_T é igual à soma das correntes em todos os ramos:  

                              I_T = I₁+ I₂ + I₃

Exercícios: Gussow, Pg. 62

     I.    LEIS DE KIRCHHOFF                       Exercícios: Gussow,  Pg.70)

1^ª LEI DE KIRCHHOFF (LKC)

Num circuito em série, a corrente que entra no mesmo é exatamente igual à que o deixa. Esta afirmação deve ser verdadeira quer o circuito seja do tipo série ou em paralelo, ou ainda uma combinação entre ambos.

Assim, a 1^ª Lei de Kirchhoff é verdadeira para todos os circuitos. Contudo, ela não se refere ao circuito como um todo, e sim apenas os nós individuais, onde se dá a combinação de correntes no circuito. Ela afirma:

Em um nó (junção) qualquer de um circuito elétrico, a soma de todas as correntes que chegam é sempre igual à soma de todas as correntes que saem.

Suponha um circuito, parte do qual consiste de um nó de 5 (cinco) condutores, e que há corrente nos 5 (cinco) circuitos, nos sentidos indicados na figura abaixo:

I₁ + I₂ = I₃ + I₄ + I₅

As correntes I₁ e I₂ são fluxos de elétrons para o ponto P. Portanto, o número de elétrons que deixam o ponto P deve ser igual ao número de elétrons que chegam no mesmo ponto.

Detalhe importante é a indicação dos sentidos das correntes. Desde que seja observada a mesma convenção, não importa que o sentido adotado seja o convencional ou o eletrônico. Neste caso, as correntes que se dirigem para o nó são positivas, e as que dela se afastam são negativas.

I₁ + I₂ - I₃ - I₄ - I₅  = 0

Para usar a 1^ª Lei de Kirchhoff em um circuito, a regra é:

1º:  Desenhar o circuito;

2º:  Indicar no circuito, o sentido da corrente através de cada resistência;

3º:  Determinar as correntes que chegam e que saem, de cada nó, indicando-as no circuito.

O valor e o sentido de cada corrente desconhecida poderão ser determinados com esta Lei.

Exercício 1) Encontre, no circuito abaixo, o sentido e o valor de I₁.     Exercícios: Gussow,  Pg. 140

Determina-se primeiro o sentido da corrente desconhecida, adicionando-se todas as correntes conhecidas que se dirigem para o nó e todas que dela se afastam, comparando a seguir os dois resultados. Neste caso, a soma das correntes que se afastam do nó (I₃ = 6A mais I₄ = 3A mais      I₅ =2A, dando um total de 11A) é maior do que o valor da corrente conhecida (I₂ = 4A) que se dirige para o nó.

Conclui-se que a corrente desconhecida (I₁), também deve estar se dirigindo para o nó, ou não poderia existir equilíbrio entre os fluxos de elétrons no nó. Seu valor pode ser determinado, aplicando-se os valores conhecidos na equação de Kirchhoff,     I₁ + I₂ = I₃ + I₄+ I₅

Portanto,  I₁ + 4A = 6A + 3A + 2A,      logo: I₁ = 7A

Também usando I₁ + I₂ - I₃ - I₄ – I₅ = 0  \

I₁ + 4A – 6A – 3A – 2A= 0,      logo: I₁ = 7A

Consideremos agora um exemplo um pouco mais complexo, para exercitarmos o uso da Lei de Kirchhoff, para determinação dos valores e dos sentidos das correntes desconhecidas em um circuito.

Exercício 2) Suponha um circuito formado por 7 (sete) resistores, ligados de acordo com a figura abaixo. Ache as correntes desconhecidas em todas os nós onde apenas uma corrente for desconhecida, usando mais tarde estes novos valores para achar os desconhecidos em outros nós.

1.    Há apenas uma corrente desconhecida no nó A e D, comece por A:

ü Achando I₁:

Das três correntes no nó A: I₁, I₂ e I_3, o sentido das correntes I₂ e I₃ são conhecidas, se afastam do nó. Logo, I₁ deve-se dirigir-se para o nó, e o seu valor deve ser igual à soma de I₂ e I₃.

Logo: I₁ = I₂ + I₃ \I₁ = 7A + 3A \   I₁ = 10A

ü Achando I4:

Em C, 2 correntes : I₂ e I₅ são conhecidas e somente I₄ é desconhecida. Como I₂ flui para C e é maior que I₅, que se afasta de C, a terceira corrente I4 deve se afastar de C. Como a corrente que entra é igual à que sai.

Então: I₂ = I₄ + I₅ \7A = I₄ + 5A \   I₄ = 2A

ü Achando I6:

Agora, o valor e o sentido de I₄ são conhecidos, e somente I6 é desconhecida no nó B. I₃ e I₄ dirigem-se para B, logo a corrente restante I₆, deve se afastar de B.

Logo: I₆ = I₃ + I₄ \I₆ = 3 A + 2 A \    I₆ = 5A

ü Achando I7:

Com I₆ conhecida, apenas I₇ permanece desconhecida no nó D. Como I₅ e I₆ fluem para o nó D, a corrente I₇ deve se afastar de D, e é igual:

I₇ = I₅ + I₆ \ I₇ = 5 A + 5 A \     I₇ = 10 A

2.    Agora se conhece todas as correntes do circuito e os seus sentidos através dos resistores.

Exercícios: Schaum Pg 140 – 7.4 a e b

POLARIDADES E QUEDAS DE TENSÃO

Quando há uma queda de tensão através de uma resistência, uma extremidade deve ser mais positiva ou mais negativa do que a outra. A polaridade da queda de tensão é determinada pelo sentido da corrente convencional, isto é, de um potencial positivo para um potencial mais negativo. O sentido da corrente através de R₁ é do ponto A – B. Portanto, a extremidade de R₁ ligada ao ponto A possui um potencial mais positivo do que o ponto B. Outra forma de se visualizar a polaridade entre quaisquer dois pontos é a seguinte:

ü  O ponto mais próximo do terminal positivo da fonte de tensão é mais positivo;

ü  O ponto mais próximo do terminal negativo da tensão aplicada é mais negativo.

Conseqüentemente o ponto A é mais positivo do que o B, enquanto D é mais negativo do que C.

Exercícios: Eletricidade Básica Pg.38 – Schaum Pg.69

2^ª LEI DE KIRCHHOFF (LKT)

Esta é a lei de Kirchhoff  para a tensão, ou a lei das malhas, que afirma que a tensão aplicada a um circuito fechado é igual à soma das quedas de tensão naquele circuito, visto no circuito em série da seguinte forma:

TENSÃO APLICADA = SOMA DAS QUEDAS DE TENSÃO

V_A = V₁ + V₂ + V₃

Outra forma de se enunciar esta lei é: a soma algébrica das subidas ou aumentos das quedas de tensão deve ser igual a zero. Uma fonte de tensão (f.e.m.) é considerada um aumento de tensão, uma tensão através de um resistor consiste em uma queda de tensão. Para facilitar sua identificação, geralmente usam-se:

ü  índices alfabéticos para indicar fontes de tensão e

ü  índices numéricos para indicar as quedas de tensão

Transpondo os termos da direita, da equação acima, para o lado esquerdo, temos:

TENSÃO APLICADA - SOMA DAS QUEDAS DE TENSÃO = 0

V_A - V₁ - V₂ - V₃  = 0

Ao acompanhar as quedas de tensão ao longo de um circuito, comece no terminal negativo da fonte de tensão. O percurso do terminal negativo até o terminal positivo passando pela fonte de tensão correspondente a um aumento de tensão. Continuamos a acompanhar o circuito do terminal positivo passando por todos os resistores e voltamos ao terminal negativo da fonte. Na figura ao lado, se começarmos pelo ponto a, o terminal negativo da bateria, e se percorrermos o circuito abcda, atravessamos V_A do – para + e V_A = +100V. Se partirmos do ponto b e percorrermos o circuito no sentido oposto badcb, atravessamos V_A do + para o – e V_A = -100 V. A queda de tensão através de qualquer resistência será negativa (-) se a percorrermos no sentido do + para o – .

Assim, na figura acima, se percorrermos o circuito no sentido abcda,            

      V₁ = -50 V, V₂ = -30 V, e V₃ = -20 V.

Portanto, ao percorrermos o circuito no sentido abcda, teremos:

      V_A - V₁ - V₂ - V₃  = 0

      100 – 50 – 30 – 20 =0

      0 = 0

Exercícios......Schaum Pg.152 – 7.6 B e 7.7  -  Eletricidade Pg.56

Observações gerais:

ü  Enquanto não encontrar nenhum elemento do circuito entre vários nós (em uma mesma linha), estes nós são coincidentes.

ü  Quando obtiver um resultado negativo ( - ) de corrente, responder assim: “ O sinal negativo ( - ) da corrente significa que o sentido adotado está incorreto, na verdade In está se dirigindo para...”.

ü  Começar sempre pelo terminal – da fonte  para o + da fonte, havendo um aumento de tensão;

ü  Quando há aumento de tensão: de –               +,   V  é + positiva;

ü  Quando há queda de tensão: de +              – ,  V é – negativa;

  II.    CORRENTES NAS MALHAS ou LEI DAS MALHAS ou LEI DE KIRCHHOFF (pág.141 Schaum)

As leis de Kirchhoff podem ser simplificadas através de um método que utiliza as correntes nas malhas.

Uma malha é qualquer percurso fechado de um circuito.

Ao se resolver um circuito utilizando as correntes nas malhas, precisamos seguir os seguintes passos:

1º.    Identificar e escolher quais os percursos que formarão as malhas;

2º.    Designar para cada malha a sua corrente: por convenção no sentido horário;

3º.    Aplica-se a Lei de Kirchhoff para a Tensão (LKT) em cada malha;

4º.    As equações resultantes (2 malhas = 2 equações), irão determinar as correntes desconhecidas;

5º.    Pode-se ainda determinar, correntes ou quedas de tensão em quaisquer resistores.

Exercício: No exercício abaixo, iremos calcular as correntes I₁ e I₂ através do método das Correntes nas Malhas:

1^o Passo: Identificar e escolher as malhas, e desenhar as correntes das malhas I₁ e I₂ no sentido horário.

2^o Passo: Indicar a polaridade da tensão através de cada resistor, de acordo com o sentido adotado para a corrente (fluxo convencional: positiva onde a corrente entra).

3^o Passo: Aplique a Lei de Kirchhoff para a tensão, å V = 0, ao longo de cada malha. Percorra cada malha no sentido da corrente da malha. Observe que há duas correntes diferentes (I₁ e I₂) fluindo em sentidos opostos através do mesmo resistor R₂, que é comum a ambas as malhas. Por esse motivo aparecem dois conjuntos de polaridades para R₂.

Percorra a malha 1 no sentido abcda, obtendo:

+ V_A – I₁ R₁ – I₁ R₂ + I₂ R₂  = 0

+ V_A – I₁ (R₁ + R₂) + I₂ R₂  = 0       x (-1)

        + I₁ (R₁ + R₂) – I₂ R₂  = V_A     Eq. (1)

Percorra a malha 2 no sentido adefa, obtendo:

– I₂ R₂ + I₁ R₂ – I₂ R₃ – V_B = 0

        + I₁ R₂ – I₂ (R₂ + R₃)   = V_B    Eq. (2)

4^o Passo: Calcule I₁ e I₂ resolvendo as equações (1) e (2) simultaneamente, multiplicando-as por valores que possam eliminar umas das correntes desconhecidas e depois somá-las.

        + I₁ (R₁ + R₂) – I₂ R₂  = V_A     Eq. (1)

        + I₁ R₂ – I₂ (R₂ + R₃)  = V_B    Eq. (2)

5^o Passo: Quando as correntes das malhas (I₁ e I₂) forem conhecidas, calcule todas as quedas de tensão através dos resistores, utilizando a 1ª. Lei de Ohm.

6^o Passo: Verifique a solução das correntes de malhas percorrendo a malha abcdefa.

       V_A – I₁ R₁ – I₂ R₃ – V_B = 0                                                                                 Exercícios: Schaum, Pg.143

Exercício: Dados: V_A = 58 V, V_B = 10 V, R₁ = 4Ω, R₂  = 3Ω e R₃ = 2Ω, calcule as correntes I₁, I₂ e as quedas de tensão no circuito.

1^o Passo: Escolha as 2 malhas e mostrar a corrente da malha no sentido horário.

2^o Passo: Aplique å V = 0 à malha 1 e à malha  2, e percorra a malha no sentido da corrente da malha.

Malha 1, abcda:

+ 58 – 4 I₁ – 3 I₁ + 3 I₂ = 0  \ 58 – 7 I₁ + 3 I₂   \   +7 I₁  – 3 I₂ = 58   Eq. (1)

Malha 2, adefa:

3 I₁ – 3 I₂ – 2 I₂ – 10 = 0     \   3 I₁  – 5 I₂ = 10         Eq. (2)

3^o Passo: Resolvendo as equações (1) e (2) simultaneamente, multiplicando a Eq.(1) por 5 e multiplicando a Eq.(2) por 3, e com as novas Eq.(1a) e Eq.(2ª):

+7 I₁  – 3 I₂ = 58      x ( 5 )           \        +35 I₁  – 15 I₂ =   290             Eq. (1a)

   3 I₁  – 5 I₂ = 10     x (– 3)          \          –  9 I₁  + 15 I₂ = – 30            Eq. (2a)

                                                                    26 I₁                     = 260        

                                                                               \ I₁ = 260/26   \   I₁ = 10 A

4^o Passo: Substituindo I₁ = 10 A na Eq.(1), obtêm-se I₂:

+7 I₁  – 3 I₂ = 58    Eq. (1)                 \  +7 I₁  – 3 I₂ = 58    \    7 x 10 – 3 I₂ = 58    \   70 – 3 I₂ = 58   

\   3 I₂ = 70 – 58              \   I₂ = 12/3    \   I₂ = 4 A

A corrente através do ramo da é:  I_da = I₁ – I₂ = 10 – 4 \ I_da = 6 A, onde o sentido adotado estava correto.

5^o Passo: Calcule todas as quedas de tensão:

V₁ = I₁ R₁ = 10 x 4 = 40 V

V₂ = (I₁ –  I₂) R₂ = 6 x 3 = 18 V

V₃ = I₂ R₃ = 4 x 2 = 8 V

6^o Passo: Verifique, se os resultados acima estão corretos, aplicando a LKT (Lei de Kirchhoff  para Tensão):

V_A – V₁ – V₃ – V_B = 0    \    58 – 40 – 8 – 10 = 0    \    58 – 58 = 0    \    0 = 0    OK!